O que (quem) é 2 1 - definição

En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ es una serie infinita cuyos términos son los números enteros, alternando signos. Utilizando la notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como:

}^{m}n(-1)^{n-1}.}"> ∑ n = 1 m n ( − 1 ) n − 1 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}

Es una serie divergente, en el sentido de que la sucesión de sus sumas parciales (1, −1, 2, −2, …) no tiende a ningún límite finito. De forma equivalente se dice que 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ no posee suma.

Sin embargo, a mediados del siglo XVIII, Leonardo Euler «demostró» la siguiente relación, calificándola de paradójica:

-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}"> 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 4 . {\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}

No sería hasta mucho tiempo después que se lograría dar con una explicación rigurosa de dicha relación. Hacia comienzos de la década de 1890, Ernesto Cesàro y Émile Borel entre otros, investigaron métodos bien definidos para encontrar sumas generalizadas de las series divergentes, incluyendo nuevas interpretaciones de los intentos realizados por Euler. Muchos de estos métodos denominados de sumación le asignan a 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ una «suma» de ¹⁄₄. El método de suma de Cesàro es uno de los pocos métodos que no suma la serie 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, por lo que esta serie es un ejemplo de un caso donde debe utilizarse un método más robusto como por ejemplo el método de suma de Abel.

La serie 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ se encuentra relacionada con la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler analizó estas dos series como casos especiales de (1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + · · ·) para valores de n arbitrarios, una línea de investigación que extiende su contribución al problema de Basilea y conduce a las ecuaciones funcionales de lo que conocemos hoy como la función eta de Dirichlet y la función zeta de Riemann.